Voce pode usar um repetidor como while ou o for, modifiquei seu codigo com while da uma testada:
#include <iostream>
using namespace std;
int main (){
int numeroMes;
while(1){
cout << "\n Insira o numero do mes desejado: \n" << endl;
cin >> numeroMes;
cout << "\n";
if (numeroMes==1){
cout << "\n O mes numero 1 e JANEIRO";
}
if (numeroMes==2){
cout << "\n O mes numero 2 e FEVEREIRO";
}
if (numeroMes==3){
cout << "\n O mes numero 3 e MARCO";
}
if (numeroMes==4){
cout << "\nO mes numero 4 e ABRIL";
}
if (numeroMes==5){
cout << "\nO mes numero 5 e MAIO";
}
if (numeroMes==6){
cout << "\nO mes numero 6 e JUNHO";
}
if (numeroMes==7){
cout << "\nO mes numero 7 e JULHO";
}
if (numeroMes==8){
cout << "\nO mes numero 8 e AGOSTO";
}
if (numeroMes==9){
cout << "\nO mes numero 9 e SETEMBRO";
}
if (numeroMes==10){
cout << "\nO mes numero 10 e OUTUBRO";
}
if (numeroMes==11){
cout << "\nO mes numero 11 e NOVEMBRO";
}
if (numeroMes==12){
cout << "\nO mes numero 12 e DEZEMBRO";
}
else{
cout << "Numero digitado e invalido";
}
}
return 0;
}