Como disse o sousatg, inclua na sua tabela a coluna "aprovado", altere o script de inserção, fazendo com que todos os recados inseridos tenham por padrão o status de aprovação 0, desta forma:
$query = "INSERT INTO mural (Nome,Mensagem,Aprovado) VALUES ('$Nome','$Mensagem',0)";
Adicione também ao sua tabela de recados uma coluna "id" com índice primário e auto incremento.
Na página de listagem dos recados, faça um script responsável por verificar o status de aprovação do recado (0 = aguardando aprovação, 1 = aprovado), algo parecido com o que o nosso amigo mostrou acima:
SELECT * FROM mural WHERE aprovado = 1
Desta forma, irá listar apenas os que já passaram pela sua aprovação.
Quanto ao script de aprovação, pode utilizar algo deste tipo:
UPDATE mural SET aprovado = 1 WHERE id = 'id do recado'
Use a sua criatividade. ;)
Espero ter ajudado, abraços.