[Formulário de Envio em PHP não envia emails hotmail, gmail etc.]

Oi, pessoal! Estou trabalhando em um formulário de cadastro/ envio de emails que não está funcionando quando, durante o preenchimento do form, utilizamos um email hotmail, gmail etc. Ele só funciona com domínios "válidos". Alguém pode, por favor, me ajudar? Preciso receber também os dados de quem preencher o formulário com esses emails gratuitos.

Segue o código que estou utilizando:

 

<?php
$action=$_REQUEST['action'];
if ($action=="")    /* display the contact form */
    {
    ?>
    
                    
<form  action="" method="POST" enctype="multipart/form-data">                
 <input type="hidden" name="action" value="submit">
                        
<div class="form-group">
<input type="text" name="name" class="form-control" required placeholder="Nome"/>
</div>
<div class="form-group">
<input type="text"name="email" class="form-control" required placeholder="E-mail"/>
                               
</div>
<div class="form-group">
                            
<textarea name="message" id="message" required class="form-control" rows="8" placeholder="Escreva sua Mensagem"></textarea>
                               
</div>                        
<div class="form-group">
<input type="submit" value="Enviar" name="enviar" class="btn btn-submit"/>
                               
                            </div>
                            
                        </form>
                        
                    
       <!-- Envio do formulario na própria página -->
                        
<?php
} 
else                /* send the submitted data */
{
$name=$_REQUEST['name'];
$email=$_REQUEST['email'];
$message=$_REQUEST['message'];
if (($name=="")||($email=="")||($message==""))
{
echo "Todos os campos são obrigatórios por favor preencha <a href=\"\">o formulário</a> novamente.";
}
else{        
$from="From: $name<$email>\r\nReturn-path: $email";
$subject="Formulário de Contato do Site";
mail("contato@comanchearcoeflecha.com.br", $subject, $message, $from);
echo "E-mail enviado com sucesso!";
}
}  
?> 
                        
        <!-- FIM FORM -->