Cada API tem suas regras, leia elas. Desconheço API do google que não tenha a opção de ser gratuita, a maior parte delas você pode usar sem custo algum, só terá que pagar algo a partir e uma certa quantidade de requisições.
Então os passos lógicos são:
1 - Determinar o que você espera que cadastra faça?
2 - Criar a função cadastra.
Pronto. Se você não espera que cadastra faça alguma coisa, simplesmente remova ela.
O problema está na sua query:
$verificar = mysql_query("SELECT * FROM livros");
Você tem que verificar se o livro que a pessoa está retirando de fato está livre:
$verificar = mysql_query("SELECT * FROM livros WHERE alguma_coisa = 'outra coisa'");
Basta dar um print_r($_POST) para entender a estrutura que você está recebendo, o que vai ocorrer ali?
name="Input4[]"
Isso vai se transformar em $_POST['Input']['0'], o próximo será $_POST['Input']['1'] e assim por diante.