Voce pode usar um repetidor como while ou o for, modifiquei seu codigo com while da uma testada:
 
	 
 
	#include <iostream> 
	using namespace std; 
	int main (){ 
	     
	    int numeroMes; 
	    while(1){ 
	     
	    cout << "\n Insira o numero do mes desejado: \n" << endl; 
	    cin >> numeroMes; 
	    cout << "\n"; 
	    if (numeroMes==1){ 
	        cout << "\n O mes numero 1 e JANEIRO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==2){ 
	        cout << "\n O mes numero 2 e FEVEREIRO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==3){ 
	        cout << "\n O mes numero 3 e MARCO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==4){ 
	        cout << "\nO mes numero 4 e ABRIL"; 
	    } 
	    if (numeroMes==5){ 
	        cout << "\nO mes numero 5 e MAIO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==6){ 
	        cout << "\nO mes numero 6 e JUNHO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==7){ 
	        cout << "\nO mes numero 7 e JULHO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==8){ 
	        cout << "\nO mes numero 8 e AGOSTO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==9){ 
	        cout << "\nO mes numero 9 e SETEMBRO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==10){ 
	        cout << "\nO mes numero 10 e OUTUBRO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==11){ 
	        cout << "\nO mes numero 11 e NOVEMBRO"; 
	    } 
	    if (numeroMes==12){ 
	        cout << "\nO mes numero 12 e DEZEMBRO"; 
	    } 
	    else{ 
	        cout << "Numero digitado e invalido"; 
	    } 
	     
	} 
	     
	    return 0; 
	}